Первый научный руководитель и главный конструктор ядерного центра Челябинск-70 (Снежинск, c 1992 РФЯЦ-ВНИИТФ — Российский Федеральный Ядерный Центр — Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики). Трижды Герой Социалистического Труда. Член-корреспондент АН СССР (с 23 октября 1953, отделение физико-математических наук). Специалист в области горения и детонации и роли турбулентности в указанных процессах (именно ему принадлежит формулировка теории спиновой детонации), в научной литературе известен термин «зона турбулентного пламени по Щёлкину».  Родился 17 мая 1911 года в Тбилиси. Мать — Вера Алексеевна, учительница. Отец — Иван Ефимович, землемер.

В 1924—1928 годах учился в Карасубазаре, где находится мемориал в его честь. В 1932 году закончил физико-технический факультет Крымского государственного педагогического института. Диссертацию (тема — газодинамика горения) на соискание учёной степени кандидата технических наук защитил в 1938, докторскую — в 1945 (оппонентами явились будущие академики — основоположник теории воздушно-реактивных двигателей Б. C. Стечкин, выдающийся физик-теоретик Л. Д. Ландау и крупнейший аэродинамик С. А. Христианович), стал профессором физико-математических наук в 1947 году.

Именно Щёлкин расписался «в получении» первого советского атомного взрывного устройства РДС-1 из сборочного цеха. Потом над ним подшучивали: а куда ты дел бомбу, за которую расписался? В документах полигона до сих пор значится, что за «изделие» (следует номер и шифр) ответственен конструктор. Именно он 29 августа 1949 года на Семипалатинском испытательном полигоне вложил инициирующий заряд в плутониевую сферу первого советского атомного взрывчатого устройства РДС-1 (Это название произошло от правительственного постановления, где атомная бомба была зашифрована как «реактивный двигатель специальный», сокращенно РДС. Обозначение РДС-1 широко вошло в жизнь после испытания первой атомной бомбы и расшифровывалось по-разному: «Реактивный двигатель Сталина», «Россия делает сама» и т. п.; использован «американский вариант» конструкции). Именно он вышел последним и опломбировал вход в башню с РДС-1. Именно он нажал кнопку «Пуск».Далее последовали РДС-2 и РДС-3. По итогам испытания первого советского ядерного устройства группа учёных, конструкторов и технологов была удостоена званий Героя Социалистического Труда (И. В. Курчатов, В. И. Алфёров, Н. Л. Духов, Я. Б. Зельдович, П. М. Зернов, Ю. Б. Харитон, Г. Н. Флёров, К. И. Щёлкин) и лауреата Сталинской премии первой степени плюс дачи и автомашины каждому, а также права обучать детей за счет государства в любых учебных заведениях СССР. Ветераны-атомщики шутили (шутка вполне в стиле жизни), что при представлении к наградам исходили из простого принципа: тем, кому в случае неудачи уготован расстрел, при успехе присваивать звание Героя; обреченным при провале на максимальное тюремное заключение в случае удачного исхода давать орден Ленина, и так далее по нисходящей.

Всего в октябре 1949 Сталинских премий были удостоены 176 учёных и инженеров, а в декабре 1951 после второго успешного испытания 24 сентября 1951 (уже уранового заряда) — ещё 390 участников атомного проекта. В 1954 получил Героя в третий раз совместно с И. В. Курчатовым, Я. Б. Зельдовичем, Ю. Б. Харитоном, Б. Л. Ванниковым и Н. Л. Духовым за создание серии советских атомных зарядов.

В 1960 году переехал в Москву, работал профессором, заведующим кафедрой горения в Московском физико-техническом институте, читал лекции студентам и популярные лекции в самой широкой аудитории. Его популярные очерки «Физика микромира» выдержали несколько изданий и получили первую премию на всесоюзном конкурсе научно-популярных книг.

Лауреат Ленинской премии и Сталинской премии. Награждён четырьмя орденами Ленина, орденами Трудового Красного Знамени и Красной Звезды, а также медалями.

Умер 8 ноября 1968 года в Москве.